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MSModelingAndTFApproach91-120

翻譯https://drive.google.com/file/d/1KRb8vX_LB_3hkLwK1z1LOP8wl_StIZOR/view
p.91~p.120
第二種數值積分方法：積分的近似值
等於圖4.8的面積之一

按照之前相同的步驟，使用圖4.8，我們得到：

依次給出z域:

從中我們有：

像之前一樣再次比較兩個傳遞函數，我們得到以下轉換：

第三種數值積分方法：在前面的兩個模式中，我們有低估或高估曲線的面積。另一種替代包括計算這兩種方法的平均值。現在參考圖4.9所示，我們得到以下積分的近似值：
圖中所示區域的面積。

從這個表達式中我們得到：

現在使用F（z）的表達式，我們得到：

最後

像之前一樣進行以下轉換：

範例4.2.14考慮以下傳遞函數：

我們的目標是看到我們將使用極點的轉換的效果系統的。首先，讓我們確定採樣週期。由於我們有一個二階，我們有：

給出wb = wn，並且採樣週期的適當選擇如下：

為此，讓我們使用之前的變換計算極點該系統：

使用s = z-1/ T，相應的傳遞函數為：

系統在z平面中的極點為：z1,2 = 0.9338±0.1987 j
使用s = z-1/ Tz，相應的傳遞函數為：

系統在z平面中的極點為：z1,2 = 0.9064±0.1689 j
使用s = (2 /T)(z−1 /z + 1)，相應的傳遞函數為：

系統在z平面中的極點為：z1,2 = 0.9182±0.1845 j
使用變換s = 1
T ln z（z = eT s），極點為0.9175±0.1847 j。
從該示例可以看出，梯形近似為
因為它給出幾乎相同的極點，所以它更接近於精確變換。的
其他近似值則得出不同的結果。因此穩定性和精度
在選擇特定方法之前應先進行測試。
作為可用於近似傳遞函數的另一種方法
Z-域在文獻中始終被稱為極點/零點
轉型。它包括執行以下步驟：
G（s）的所有極點都對應於z = e-sT。也就是說，如果s = −a，則是極點
在s域中，則G（z）在z域中的z = e-aT處有一個極點
對G（s）的零做同樣的事情
將與s =∞相對應的G（s）的所有極點置於z = -1處。這表示
將（z + 1），（z + 1）2，···加到G（z）的分子上，使得
分子將等於分母之一。
使G（s）的增益與G（z）之一相對應。這意味著我們必須
為此，請執行以下操作：
[G(s)]s=0 = [G(z)]z=1
範例4.2.15在說明這個過程是如何工作的，我們考慮以下內容
轉換功能：
G(s) = 10/(s + 1)(s + 2).
該傳遞函數的極點為s1 = -1和s2 = -2。他們對應
極點分別是z1 = e^T和z2 = e^-2T。如果我們將採樣週期固定為
T = 0.02s，則這些極點變為z1 = 0.9802和z2 = 0.9608。
由於分母為度2，因此分子也應為度
2.為此，我們將分子（z +1）2添加到分子。
然後通過以下公式計算增益：

最後，Z域中的傳遞函數由下式給出：

作為另一種方法，可以從G（s）= N(s) / D(s)導出G（z，當D（s）有不同的根源。可以使用以下公式進行計算：

範例4.2.16展示如何從帶有分母的G（s）中獲得G（z）的想法
具有不同的根源，我們考慮以下傳遞函數：

該傳遞函數的分母和分子由下式給出：
D（s）=（s + a）（s + b）
N（s）= 1
關於s的分母導數由給出：
D'（s）= 2s +（a + b）
在兩個根上的導數的值是：
D'（x1 = -a）= b-a
D'（x2 = -b）=-（b-a）
使用這個和前面的公式，我們得到：
4.3傳遞函數概念
採樣系統的傳遞函數的概念可以類似地定義
已經做過連續時間了。為了澄清這一點，讓我們參考圖4.10
上游採樣器是真實的，而下游採樣器是虛擬的
我們假設是理想的，並且在相同的採樣週期內保持同步。的
引入第二個採樣器是為了定義Y（z），從而定義
正確的脈衝傳遞功能。根據圖4.10，我們得到：

由於輸出是由虛擬採樣器採樣的，因此我們可以得到：

如果我們應用Z變換，則可以獲得：
Y（z）= G（z）U（z）
從時域開始可以很好地證明這種關係。在
事實上，我們有：

現在使用卷積定理，我們得到：

從另一面我們知道你（σ）可以寫成：

使用此，y（t）的表達式變為：

現在使用採樣信號y的Z變換的定義（t）我們有：

執行變量m = k − l的更改，我們得到：

可以重寫如下：

最後，傳遞函數由下式給出：

這是輸出的Z變換與輸出的Z變換之間的比率輸入。在操作採樣系統的框圖時，應格外小心。以下關係將有助於此目的。

例4.3.1在本例中，我們考慮圖4.11的系統。以理想的採樣器串行發送兩個系統。兩者的表達傳遞函數是：

我們的目標是為該系統計算等效傳遞函數。

根據此圖，我們得到：

這使：

這又意味著：

使用Z -transform表，我們有：

例4.3.2在本例中，我們考慮重新採樣的情況。在兩個傳遞函數之間串行移動。這種情況說明如下圖4.12。傳遞函數G1（s）和G2（s）由下式給出表達：

其中a為正標量。
我們的目標是計算等效傳遞函數並將其與在前面的示例中獲得的一個。

在這種情況下，我們有：

依次給出

重要的是要注意，我們為此獲得的等效傳遞函數
這種情況與我們從上一個示例的系統獲得的情況不同。

使用G1(s)和G2(s)的表達式，我們得到：

根據Z -transform表，我們有：

例4.3.3在本例中，我們考慮具有轉移功能的情況。反饋中的內容，我們將按照與在先前的例子。該系統如圖4.13所示。傳遞函數由以下表達式給出：

根據此圖，我們可以：

依次給出：

由此我們得到：

這提供了以下脈衝傳遞函數：

從Z -transform表中，我們得到：

使用此我們可以獲得：

例4.3.4作為前一種情況的第二個例子，讓我們考慮一下系統圖4.14。問題是如何計算脈衝傳遞函數該系統的F（z）= Y（z）/ G（z）。

由於（請參閱表Z -transform）

對於閉環脈衝傳遞函數，我們得到以下表達式：

例4.3.5在本例中，圖4.15所示的系統為零使用訂單保持（ZOH）。
1.找到開環和閉環脈衝傳遞函數Y（z） / U（z）
2.如果K = 1且T = 0.1，則找到單位階躍響應
此示例的解決方案可以輕鬆獲得。實際上，我們有：
開環：

從中我們有：

最後我們得到：

閉環：

使用z1 = 1和z2 = 1-KT的殘差法，以及

K = 1，我們發現：

k倒k = 0、1、2、3，···

如果使用T = 0.1s，則得到：

示例4.3.6讓我們考慮圖4.16的系統併計算轉移功能。使用此圖，我們可以：

依次給出：

使用Z變換，我們獲得：

例4.3.7讓我們考慮圖4.17的系統併計算轉移
功能。

圖4.17反饋中的傳遞函數

使用此圖，我們可以：

依次給出：

現在使用Z變換，我們得到：

示例4.3.8讓我們考慮框圖的動態系統
如圖4.18所示

例4.3.9讓我們考慮圖4.19的框圖系統
併計算傳遞函數

例4.3.10讓我們考慮圖4.20的框圖系統
併計算傳遞函數

圖4.20反饋中的傳遞函數

使用此圖，我們可以：

依次給出：

現在使用Z變換，我們得到：

根據這些示例，我們始終能夠計算出該系統及其表達方式如下：

其中Y（z）和U（z）分別是輸出Y（s）和Z的Z變換輸入U（s）。此傳遞函數始終採用以下形式：

其中ai和bi是實數標量，n是一個整數，表示整數的階數系統。
多項式N（z）和D（z）的根，即以下項的解等式：

分別稱為系統的零點和極點。極點在系統響應中起重要作用。他們的位置非常
重要，它與系統性能（例如穩定性，瞬態）有關
政權等）。
例4.3.11讓我們考慮一個具有以下轉移的動力系統
功能：

計算系統的極點和零點並將它們繪製在z域中。
根據傳遞函數的表達式，我們有：

多項式的根對零為0.1±0.1 j，對於零為2和0.2±0.4 j
兩極。零都在單位圓內。複雜的兩極也在裡面
單位圓，而實際圓在該圓之外。
我們介紹了傳遞函數的概念，並且學習瞭如何
操作框圖。現在是時候計算傳感器的時間響應了。
給定信號輸入的系統。這是下一部分的主題。
4.4時間響應及其計算
通常，控制系統必須保證某些性能，例如：
•穩定時間為給定百分比
•過衝
•阻尼比
•等
對於時間定義，我們要求讀者看一下圖4.21。有一個想法
關於穩定時間，過衝等的概念，讓我們考慮線性時間
輸入r（t）和輸出y（t）的不變系統。如果我們在
輸入，該系統的輸出將如圖4.21所示。從這個數字來看，
可以看到建立時間定義為系統響應時間，
y（t）達到誤差帶（由一定百分比，2％，5％等定義）
並在其餘時間停留。百分比越低，沉降時間越長
時間會。
過衝是給定係統時間響應的另一個特徵。
如果我們參考上圖，則超調定義為最大超出
系統輸出的穩態值。通常，我們使用百分比
過衝，定義為輸出的最大值減去步長值
除以步長值。
錯誤也是輸出行為的另一個特徵。它被定義為
輸出所獲得的穩定值與期望值之間的差。為一個
具有統一反饋的閉環系統，通過數學定義誤差E（z）
如：E（z）= R（z）-Y（z）
其中R（z）是參考輸入，Y（z）是輸出。
以前，我們開發了可用於計算表達式的工具
給定信號的時間。在這裡，我們將使用它來計算給定的時間響應
系統選擇的輸入可能是以下信號之一或組合：
•狄拉克的衝動
• 步
•坡道

圖4.21步進輸入的時間響應行為
為了計算時間響應，讓我們考慮一個具有脈衝傳輸的系統
給定輸入信號U（z）的函數G（z），並考慮計算
y（kT）的表達式。該系統如圖4.22所示。這個數字可能代表
發送了開環脈衝傳遞函數或其等效的閉環脈衝
簡化系統框圖後得到的傳遞函數。
從這個數字，我們得到：
Y（z）= G（z）U（z）
時間響應y（kT）的計算被引入到
可以使用以下方法之一確定Z逆變換：

•擴展為部分分數
•多項式除法
•殘留法
為了說明時間響應如何，讓我們考慮以下示例。
例4.4.1在本例中，我們考慮直流電動機驅動的速度控制
通過齒輪給定的機械負載。我們假設系統是使用
微控制器。系統的傳遞函數由下式給出：

其中K = 2和τ= 2該系統被認為是開環的。在這種情況下，由於我們存在
ZOH，我們獲得：

使用Z -transform表，我們得到：

其中T是採樣週期。對於我們的系統，由於時間常數等於2秒，因此對於
採樣週期為T = 0.2sec。使用這個，我們得到：

如果現在我們認為信號輸入是單位步長，我們得到

要計算時間響應，我們可以使用表格或繼續進行擴展為部分分數。

使用Z -transform表，我們可以：

通過擴展為部分分數，我們得到：

由此我們得到：

現在使用Z -transform表，我們得到：

因為e-0.1 = 0.9048。

例4.4.2在本例中，我們考慮直流電動機驅動器的位置控制。
通過齒輪給定的機械負載。我們假設系統是受控的

使用微控制器。系統的傳遞函數由下式給出：

其中K = 2和τ= 2

該系統被認為是開環的。在這種情況下，由於我們存在
ZOH，我們獲得：

使用T = 0.2秒的Z轉換錶，我們得到：

如果現在我們認為信號輸入是單位步長，我們得到

要計算時間響應，我們可以使用Z -transform表或繼續用膨脹成部分餾分的方法或用殘渣的方法。

使用Z -transform表，我們得到：

通過將方法擴展為部分分數，我們可以：

用殘基的方法，我們得到：

在極點z = 1和z = 0.9048處。
這些殘基計算如下：
•極點z上的殘差= 1

•極點z上的殘差= 0.9048

現在使用該表，我們得到：
因為e-0.1 = 0.9048。
從上一節中計算出的時間響應可以看出對於給定的系統，對於給定的信號，輸出可以取有限值或無限值信號輸入。問題是為什麼會這樣。給出了這個問題的答案通過穩定性分析，這將在下一部分中介紹。

4.5穩定性和穩態誤差
對於連續時間域中的系統，穩定性意味著所有極點必須具有負實部。在變換z = eT s的情況下，T是採樣期間，我們看到s域的左半平面對應於內部單元4.5。穩定性和穩態誤差109圓，因此，如果所有極點都在這個單位圓內為了分析離散時間系統的穩定性，讓我們考慮離散時間系統的穩定性。圖4.23。該系統的閉環傳遞函數由下式給出：

其中R（z）和Y（z）分別是輸入和輸出。系統的極點是以下特徵方程的解：
1 + C（z）G（z）= 0
穩定性研究需要計算這些根。對於小訂單系統中，我們總是可以手動求解特徵方程，然後獲得極點和穩定性結論將基於極點所在的事實得出位於。對於高階，不建議使用此方法，而替代方法是需要。已經開發了一些標準來研究穩定性。在這些當中我們引用的標準是陪審團之一和Raible。

例4.5.1讓我們考慮一個具有以下特徵方程的動力系統：

特徵方程的根為：z = 1/2和z = 1/4。這些根是位於單位圓內，因此系統穩定。例4.5.2讓我們考慮一個具有以下特徵的動力系統：
tic方程：

系統的根為z1,2 = 1±j(1/2)並且都在單位圓之外表示系統不穩定。研究離散時間系統穩定性的直接方法是將其轉換到等效的連續時間，然後使用Routh-Hurwitz的準則。
這個想法是找到一個合適的應用程序來映射單位圓的內部到左側的半平面上。然後，我們可以應用Routh-Hurwitz準則。我們正在尋找的轉變是：

在特徵方程中用該表達式代替z將得到一個新的，在w中，我們可以應用Routh-Hurwitz的準則。

例4.5.3為了展示我們如何使用勞斯·赫維茲準則，讓我們考慮具有以下特徵方程的動力學系統：

可以看出極點為2和0.2±0.4 j。因此系統是不穩定。

可以採用以下形式：

Routh-Hurwitz的條件包括填寫下表：

在第一列的基礎上，我們可以看到符號因此系統不穩定。這證實了我們已經評論過的結果較早。
同樣重要的是要注意w中特徵方程的根是由：
w1 = 0.3333
w2,3 = −0.5000±0.5000 j
這些根也可以使用w =z−1/z+1從z域中的根獲得

應用雙線性變換可得出：

依次給出：

應用Routh-Hurwitz可以得出：

為了保證穩定性，我們應該確定參數K的範圍這樣我們就不會在第一欄中更改標誌。對於w^0行，我們應該擁有0, i.e. K > 1/6.32 = 0.158.。對於w^2行，我們還應該2.736 − 6.32K> 0，即K <2.736/6.32 = 0.4329。如果我們看這兩個條件，我們結論是系統對於0.158 <K <0.4349是穩定的。

為了檢查這一點，讓我們考慮在間隔內的K = 0.2。使用這個值，我們得到以下特徵方程式：

其根為z1 = 0.052 + j0.6044和z2 = 0.052-j0.6044。根是位於單位圓的內部，因此系統穩定。對於K = 1，我們獲得：

根是z1 = -0.076和z2 = -4.876。然後系統不穩定，因為| z2 | > 1。
對於離散時間，陪審團已經制定了一個標準，該標准給出了關於任何不求解特徵方程的系統。展示這種方法工作時，讓我們考慮以下具有實係數的特徵多項式：

Jury的穩定性標準包括建立以下一系列係數：

Jury的陣列係數計算如下：

P（z）描述的系統穩定的充要條件是：

例子4.5.5檢查以下描述的系統的穩定性多項式：

我們形成Jury的係數數組：

由於n = 3，因此應滿足以下條件：
•P（1）必須為正：1 + 3.3 + 3 + 0.8 = 8.1> 0為真
•P（−1）必須為負，因為n = 3 =奇數：-1 + 3.3-3 + 0.8 = 0.1> 0這是錯誤的

一個錯誤的條件足以得出系統不穩定的結論。

例4.5.6讓我們考慮一個具有以下特徵方程的動力系統：

其中K是確定參數以使系統穩定的參數。此特徵方程式可重寫如下：

應用Jury標準可得出：

因此，如果K∈] 0，2.8 [，我們的系統將是穩定的。例如，如果我們將K固定為2，
給出以下特徵方程式：

根是z1,2 = -0.3000±0.5568 j，由於| z1,2 |而在單位圓內 <1。

Raible提出了另一個研究穩定性基礎的標準。這個站技能標準還包括陪審團標準，即先填充數組，然後再填充關於穩定性的結論。為了展示此標準的工作原理，讓我們考慮以下因素特徵方程：

其中ai是真正的標量。

重複這些過程，直到數組獲得2n +1行。最後一行僅包含一個數字。Raible的穩定性標準當a0> 0時，且僅當且僅當多項式的根都在單位圓內a（i）0> 0，i = 0，1，···，n − 1
係數a（i）0> 0，i = 0，1，···，n − 1出現在Raible的數組中。
備註4.5.1假設a0> 0不是限制性的。實際上，當a0 <0時，足以改變多項式P（z）的所有係數的正負號以獲得-P（z），依次用於Raible的標準。

該過程是正確的，因為P（z）和-P（z）的根相同。

例4.5.7為了說明Raible準則是如何工作的，讓我們考慮以下特徵方程式：

係數a0必須為正，然後形成多項式

我們提出了一些技術來研究離散時間系統的穩定性tems。同樣重要的是要注意，我們也可以在頻域。

4.6根軌跡技術

根軌跡技術是一種強大的方法，通常用於連續時間或離散時間系統進行分析或設計。該技術給出了關於增益或更大時閉環動力學的極點行為的想法（a參數或更多）。直接結論是我們知道，會如何影響系統的穩定性和其他性能參數更改。
如今，有許多工具可以繪製任何動力學系統的根基因座其中一些可免費使用。在本節的其餘部分，我們將使用Matlab進行繪製，但我們將製定規則，以獲取如何獲取根軌蹟的草圖如果我們手邊沒有電腦。對於連續情況，離散系統的根軌跡描述為我們以以下形式編寫的特徵方程式：
1 + KG(z) = 0
其中K是變化的參數，

其中z1，z2，... n是極點，n1，n2，... nm是開環的零點轉換功能。
當參數K從0變為無窮大（∞）時。與我們使用的規則相同用於在s平面上繪製連續時間系統的根軌跡到z平面上離散時間系統之一的繪圖，除了結果的解釋主要在穩定性方面有所不同。
從特徵方程式，我們得到以下條件：

第一個條件稱為幅度條件，而第二個條件稱為幅度條件稱為角度條件。 Z平面上滿足這兩個條件的任何點條件屬於系統的根源。至此對應一個增益z0 如果這點是z0，那麼我們有：其中θ0是該點的對應角度。如果滿足上述兩個條件，則z平面的點將屬於根軌跡。位置。通常，除非給定係統的確切根源圖，否則這是一項艱鉅的任務，除非我們有相應的工具。通常，此根軌蹟的草圖可以是
使用一些簡單的規則即可輕鬆獲得。其中一些規則是：
1.分支的數量等於系統的階數，即：n;
2.根軌跡相對於實軸對稱。這是由於事實特徵方程的根是實數還是複數。而如果有一個複雜的根，我們自動得到它的共軛。
3.軌跡起源於開環傳遞函數的兩極，並且終端-在this傳遞函數的零上展開。解釋為什麼基因座起源從極點，我們可以使K等於零，而為什麼基因座終止於
零可以通過讓K在等式中變為∞來解釋。（4.4）。
4.漸近線的數目等於兩者之間的差極點n和開環傳遞函數的零個數m。這些漸近線的特徵是：
參數δ給出漸近線與實軸的交點，βk給出使每個漸近線與實軸成的角度。
5.對於根軌蹟的斷點，首先我們確定變化的參數K，即：

斷點是以下方程式的解：

從這個方程的根中選擇那些可行的解決方案很重要對於斷點。

6.虛軸在z平面上的交點可以通過以下方式確定在特性方程式中用jν替換z並編寫如下：

依次給出兩個方程式：

解給出相交發生的頻率和相應的收益。
7.從復雜極點出發的角度或到復雜點的到達角度使用角度條件計算零。如果我們要
計算角度為z0，條件角度變為：

例4.6.1為了說明根軌跡技術是如何工作的，讓我們考慮圖4.24的系統，其中工廠是雙積分器和控制器是一個增益為K的比例動作，我們假設它在零之間變化和無窮大是由於某些物理原因，例如加熱，老化等。使用Z變換錶和閉環傳遞的表達式函數，我們得到該系統的以下特徵方程：

根軌跡如圖4.25所示。所有根都在單位圓之外藍色。系統不穩定。這意味著比例控制器不能穩定雙積分器。

例4.6.2作為根軌跡技術的第二個例子，讓我們考慮圖4.26的系統。

根軌跡如圖4.27所示。所有的根都在單位圓內藍色。因此，系統對於所有增益k <8.65都是穩定的。

4.7波特圖技術
頻率響應在天線的分析和設計中起著重要作用。連續時間和離散時間系統。時間響應，頻率

響應包括通過正弦輸入激勵系統。在連續-時間系統，事實證明，對於正弦輸入，穩定輸出線性系統是正弦曲線，輸入頻率相同，其幅值和輸出的相位是該頻率的函數。對於離散時間系統，輸出也是正弦波，頻率與輸入信號和相位相同並且幅度仍然是該頻率的函數。為了說明這一點，讓我們考慮具有以下傳遞函數的穩定線性系統：

令輸入r（t）具有以下表達式：
r（t）= sin（wt）
其中w是輸入頻率。此處的幅度等於1。該信號的Z變換由下式給出（請參見Z變換錶）：

現在，如果我們認為系統被相應輸出的R（z）激勵，Y（z）由下式給出：

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